Die Lunge als RC-Ersatzschaltbild: PEEP, CPAP und ein drehzahlgeregeltes Gebläse

Inhalt

1. Einleitung
2. Die pneumatisch-elektrische Analogie
3. Einkompartimentmodell: Laden und Entladen
4. PEEP im Ersatzschaltbild
5. Obere Atemwege als Starling-Widerstand
6. Das Gebläse als drehzahlgesteuerte Quelle
7. Simulation: Atmen durch Drehzahlmodulation
8. Diskussion und Grenzen
9. Literatur

1 Einleitung

Ein Ersatzschaltbild ersetzt die Strömungsmechanik der Atemwege durch wenige konzentrierte Elemente, deren Verhalten jede Elektroingenieurin kennt. Das spart keine Physik, es macht sie nur rechenbar: Die gleiche Differentialgleichung, die einen Kondensator beschreibt, beschreibt auch die passive Belüftung einer Lunge.

Die Idee ist alt. Rohrer zeigte 1915, dass der Strömungswiderstand der Atemwege vom Volumenstrom abhängt, und gab die bis heute verwendete Form R = K ₁ + K ₂ ·|Q| an [1]. Otis, Fenn und Rahn beschrieben 1950 die Atemarbeit als Summe aus elastischer und resistiver Arbeit [2], also genau die Aufteilung in Kondensator und Widerstand. Mead und Whittenberger maßen 1953 Compliance und Widerstand während der Spontanatmung [3]. Bates, Rossi und Milic-Emili zeigten 1985, dass schon das Verhalten bei konstantem Einatemfluss mehr als ein einziges RC-Glied verlangt [4]; Bates fasste die inverse Modellierung der Lungenmechanik 2009 in einer Monographie zusammen [5].

In der Beatmungstechnik ist dieses Modell als Bewegungsgleichung des respiratorischen Systems Standard [6, 7, 8]. Dieser Beitrag führt es für die CPAP-Therapie weiter: mit PEEP als Gleichspannungsquelle, mit den kollabierbaren oberen Atemwegen als Starling-Widerstand [9, 10, 11] und mit einem drehzahlgeregelten Radialgebläse als physikalischer Quelle anstelle einer idealen Spannungsquelle mit Schalter.

2 Die pneumatisch-elektrische Analogie

Die Analogie ist streng, solange die Elemente linear sind: Druckdifferenzen treiben Volumenströme wie Spannungen Ströme treiben, und das Volumen wird integriert wie Ladung. Der Atmosphärendruck ist das Massepotential.

Die Energie im Kondensator, ½·V²/C, ist die elastische Atemarbeit; die im Widerstand umgesetzte Leistung R·Q² ist die resistive Atemarbeit pro Zeit – genau die Aufteilung von Otis et al. [2].

Abb. 1 zeigt die Zuordnung an einer schematischen Lunge. Die Luftröhre liegt als Widerstand R _T in Reihe, jeder Hauptbronchus bildet einen Zweigwiderstand (R ₁ , R ₂ ), jeder Lungenflügel einen Kondensator (C ₁ , C ₂ ). Das ist das klassische Zwei-Kompartiment-Modell nach Bates [5]; eine sehr anschauliche Darstellung derselben Struktur findet sich bei Li et al. [14]. Für die weiteren Abschnitte fassen wir beide Flügel zu einem einzigen RC-Glied zusammen.

Abb. 2 zeigt dasselbe in Bewegung: Links atmet die Lunge, rechts lädt und entlädt sich das Ersatzschaltbild im selben Takt. Unten laufen Ladung und Strom mit – sie sind zugleich Lungenvolumen und Atemfluss.

Pause Echtzeit Lerntempo: ca. 3× langsamer als ein echter Atemzug. Modell: R _T = 3, R ₁ = 2, R ₂ = 2,5 cmH₂O·s/L · C ₁ = 0,05, C ₂ = 0,04 L/cmH₂O · Bilevel 15/5 cmH₂O

Pneumatik (Lunge)

$$P(t)=R_T({\dot{V}}_1+{\dot{V}}_2)+R_1{\dot{V}}_1+\frac{V_1}{C_1}$$

$$R_1{\dot{V}}_1+\frac{V_1}{C_1}=R_2{\dot{V}}_2+\frac{V_2}{C_2}$$

$${\dot{V}}_k=\frac{d{V}_k}{dt},{\tau }_k\approx (R_T+R_k)C_k$$

$$P(t)=P_I\text{(Einatmung)},P(t)=P_{EEP}\text{(Ausatmung, passiv)}$$

Elektrik (Ersatzschaltbild)

$$u(t)=R_T(i_1+i_2)+R_1{i}_1+\frac{q_1}{C_1}$$

$$R_1{i}_1+\frac{q_1}{C_1}=R_2{i}_2+\frac{q_2}{C_2}$$

$$i_k=\frac{d{q}_k}{dt},{\tau }_k\approx (R_T+R_k)C_k$$

$$u(t)=U_I\text{(S auf Einatmung)},u(t)=U_{PEEP}\text{(S auf Ausatmung)}$$

Rolle	Pneumatik (Lunge)	Einheit	Elektrik (Schaltung)	Einheit
Antrieb	Druck P (Beatmungsgerät, Atemmuskulatur)	cmH₂O	Spannung u (Quelle)	V
Menge	Luftvolumen V	L	Ladung q	C (Coulomb)
Bewegung	Volumenstrom V̇ = dV/dt	L/s	Strom i = dq/dt	A
Bremse	Atemwegswiderstand R T (Luftröhre), R 1 , R 2 (Hauptbronchien)	cmH₂O·s/L	Widerstand R	Ω
Speicher	Compliance C 1 , C 2 (Dehnbarkeit der Lungenflügel)	L/cmH₂O	Kapazität C	F
Bezug	Atmosphärendruck	0 cmH₂O	Masse	0 V
Einatmung	Lunge füllt sich		Kondensator lädt
Ausatmung	Lunge entleert sich passiv (Muskeln entspannt)		Umschalter S trennt die Quelle, Kondensator entlädt über R
Grundniveau	PEEP / CPAP-Druck	cmH₂O	Gleichspannungsanteil	V
Tempo	Zeitkonstante τ = R·C	s	Zeitkonstante τ = R·C	s

Zahlen 1:1 übertragen: 1 cmH₂O ≙ 1 V, 1 L ≙ 1 C, 1 L/s ≙ 1 A. Veranschaulichung mit typischen Größen, keine Messwerte, keine Therapieempfehlung.

Warum ein Umschalter? Die Ausatmung in Ruhe ist passiv: Die Atemmuskulatur entspannt sich, und die elastische Rückstellkraft der gedehnten Lunge und Brustwand treibt die Luft hinaus. Im Schaltbild trennt der Schalter S deshalb die Druckquelle und legt den Lungenzweig auf das PEEP-Niveau (ohne PEEP auf Masse = Atmosphäre). Der geladene Kondensator entlädt sich dann über dieselben Atemwegswiderstände R _T , R ₁ , R ₂ , durch die er geladen wurde – die Ausatemluft nimmt ja denselben Weg zurück. Ein Schalter, der den Kreis nur öffnet, wäre physikalisch falsch: In einem offenen Kreis fließt kein Strom, der Kondensator bliebe geladen – das entspräche einer Lunge, die bei verschlossenen Atemwegen die Luft anhält.

Mathematisch ist der Umschalter nichts anderes als die Rechteck-Spannungsquelle aus Abschnitt 4 (u = U _I bzw. U _PEEP ); er macht nur sichtbar, dass beim Ausatmen keine Energie von außen zugeführt wird. Grenzen der Analogie: Bei forcierter Ausatmung, unter Belastung oder bei manchen Lungenerkrankungen arbeitet die Ausatemmuskulatur aktiv mit – im Schaltbild eine zusätzliche Quelle mit umgekehrter Polarität. Und der Ausatemweg kann einen anderen Widerstand haben als der Einatemweg (z. B. Ausatemventil, Maskenöffnung, dynamische Einengung der Atemwege).

3 Einkompartimentmodell: Laden und Entladen

Im einfachsten Modell liegen ein Widerstand R und ein Kondensator C in Reihe zwischen Atemwegsöffnung und Masse. Die Maschenregel liefert die Bewegungsgleichung des respiratorischen Systems [6, 7]:

P _ao ist der Druck an der Atemwegsöffnung, P _mus der von der Atemmuskulatur erzeugte Druck (positiv bei Einatemanstrengung), P ₀ der elastische Rückstelldruck bei V = 0. Wir zählen V ab dem Ruhevolumen des passiven Systems (funktionelle Residualkapazität, FRC); dann ist P ₀ = 0, und der Kondensator ist bei Atmosphärendruck ungeladen. Bei einem passiven Patienten (P _mus = 0) und einem Drucksprung von P _E auf P _I zur Zeit t = 0 ist das die Ladekurve eines RC-Glieds:

Der Einatemstrom springt also auf seinen Höchstwert (P _I − P _E )/R und fällt exponentiell ab, während sich der Kondensator füllt. Beim Rückschalten auf P _E entlädt sich der Kondensator über denselben Widerstand: Der Ausatemstrom ist negativ und klingt mit derselben Zeitkonstante ab. Nach 3τ sind 95 %, nach 5τ 99 % des Endwerts erreicht.

Für die Rechnungen in diesem Beitrag gelten folgende Annahmen: Nasenwiderstand R _n = 2 cmH₂O·s/L, Widerstand der unteren Atemwege R _aw = 2 cmH₂O·s/L, Compliance des respiratorischen Systems C = 0,05 L/cmH₂O (Lunge und Brustwand in Rückenlage). Daraus folgt τ = 4 · 0,05 = 0,2 s. Bei obstruktiven Atemwegserkrankungen steigt R deutlich, und τ wird entsprechend länger.

Nichtlinearer Widerstand. Bei turbulenter Strömung wächst der Druckabfall überproportional mit dem Fluss. Rohrer beschrieb das mit [1]

Der erste Term ist laminar, der zweite turbulent. Im Schaltbild ist das ein stromabhängiger Widerstand; die Zeitkonstante ist dann keine Konstante mehr, sondern hängt vom Arbeitspunkt ab.

Inertanz und Frequenzgang. Mit der Inertanz I der Gassäule wird aus dem RC- ein RLC-Glied mit der Eingangsimpedanz

Mit I ≈ 0,01 cmH₂O·s²/L und C = 0,05 L/cmH₂O liegt die Resonanz bei etwa 7 Hz. Bei Atemfrequenzen um 0,25 Hz ist der induktive Anteil deshalb vernachlässigbar; er wird erst bei der Oszillometrie wichtig, die genau diese Impedanz im Bereich mehrerer Hertz misst [5].

4 PEEP im Ersatzschaltbild

PEEP ist eine Gleichspannung, die in Reihe vor dem RC-Glied liegt: Der Kondensator entlädt sich am Ende der Ausatmung nicht mehr auf null, sondern nur bis auf C·PEEP. Im linearen Modell steigt das endexspiratorische Lungenvolumen deshalb um

Mit C = 0,05 L/cmH₂O und PEEP = 8 cmH₂O sind das 0,40 L. In der Realität ist der Zuwachs kleiner, weil die Compliance mit steigendem Volumen abnimmt; das lineare Modell überschätzt ihn. Bei CPAP ist das gesamte Druckniveau eine solche Gleichspannung, die Atemarbeit leistet weiterhin der Patient über P _mus .

Intrinsischer PEEP. Bei Bilevel-Druck wechselt die Quelle periodisch zwischen P _I (Einatmung, Dauer T _I ) und P _E (Ausatmung, Dauer T _E ). Ist T _E nicht viel länger als τ, entlädt sich der Kondensator nicht vollständig. Mit a = e ^{−T _I /τ} und b = e ^{−T _E /τ} folgt aus der Periodizitätsbedingung des eingeschwungenen Zustands:

Die Herleitung: Am Ende der Einatmung gilt x ₁ = P _I + (x ₀ − P _I )·a, am Ende der Ausatmung x ₀ = P _E + (x ₁ − P _E )·b, mit x = V/C. Auflösen nach x ₀ liefert den intrinsischen PEEP, die Differenz x ₁ − x ₀ das Atemzugvolumen. Für P _I = 14 und P _E = 8 cmH₂O, T _I = 1,2 s und C = 0,05 L/cmH₂O:

Ein hoher Widerstand verlängert τ, eine hohe Atemfrequenz verkürzt T _E . Beides lässt Ladung im Kondensator zurück; im Schaltbild ist der intrinsische PEEP genau diese Restspannung.

5 Obere Atemwege als Starling-Widerstand

Der Rachen ist ein kollabierbares Rohr. Er verhält sich wie ein Starling-Widerstand: Liegt der Druck im Rohr unter dem kritischen Verschlussdruck P _crit , fällt es zusammen [9, 10, 11]. Mit dem Druck vor der Engstelle P _u (Nase, Maske), dem Druck dahinter P _d (Luftröhre) und dem Widerstand R _n des vorgeschalteten Abschnitts gilt für beide Flussrichtungen:

Die Formel enthält drei Bereiche. Liegen beide Drücke über P _crit , ist das Rohr offen und verhält sich ohmsch. Liegt nur P _d darunter, ist der Fluss auf (P _u − P _crit )/R _n begrenzt, unabhängig von der Einatemanstrengung: Flusslimitierung. Liegt auch P _u unter P _crit , ist der Fluss null: Verschluss, im Schlaf eine obstruktive Apnoe.

Im Schaltbild ist das ein spannungsgesteuerter Widerstand, vergleichbar einem Sperrschicht-Feldeffekttransistor, dessen Kanal sich unterhalb einer Schwellspannung abschnürt. Bei Gesunden liegt P _crit im Schlaf deutlich im Negativen, in einer Übersicht etwa bei −13 cmH₂O; bei obstruktiver Schlafapnoe liegt er typischerweise um oder über null [11].

Die Wirkung von CPAP ist in diesem Bild elementar: CPAP hebt P _u über P _crit und hält so den Kanal offen. Sullivan et al. beschrieben das 1981 als pneumatische Schienung [12]. Die Gleichspannung PEEP aus Abschnitt 4 hat damit zwei Wirkungen: Sie verschiebt den Ladezustand des Lungenkondensators, und sie schaltet den Starling-Widerstand in den leitenden Bereich. Gold und Schwartz nutzten genau diesen Zusammenhang, um P _crit über stufenweise abgesenkten Nasendruck zu messen [10].

6 Das Gebläse als drehzahlgesteuerte Quelle

In Abschnitt 3 und 4 wurde die Druckquelle als ideale Spannungsquelle mit Umschalter behandelt. Ein CPAP- oder Bilevel-Gerät erzeugt den Druck aber mit einem kleinen Radialgebläse, dessen Drucksprung von der Drehzahl und vom eigenen Förderstrom abhängt. Statt zu schalten, moduliert das Gerät die Motordrehzahl n.

Der Regler misst den Maskendruck und gibt die Solldrehzahl vor. Strom fließt vom Gebläse über seinen Innenwiderstand zum Maskenknoten, teilt sich dort in Leckage und Patientenfluss und lädt über Rachen und untere Atemwege den Lungenkondensator.

Kennlinie. Nach den Affinitätsgesetzen der Turbomaschinen wächst der Druck bei ähnlichen Betriebspunkten mit n² und der Förderstrom mit n [13]. Eine einfache, für kleine Gebläse übliche Näherung der Kennlinie einschließlich des quadratischen Verlusts im Schlauch ist

P _m ist der Maskendruck, Q _f der Förderstrom des Gebläses. Im Schaltbild ist das eine Spannungsquelle a·n², gesteuert durch die Drehzahl, mit einem nichtlinearen Innenwiderstand. Gewählt wurden a = 0,045 cmH₂O/krpm² und b = 8 cmH₂O·s²/L², sodass 8 cmH₂O bei rund 14 000 min⁻¹ erreicht werden.

Motordynamik. Rotor und Laufrad haben ein Trägheitsmoment, die Drehzahl folgt dem Sollwert also verzögert. Für die Simulation genügt ein Verzögerungsglied erster Ordnung mit der Zeitkonstante τ _m = 50 ms:

Maskenleckage. Jede CPAP-Maske hat eine gewollte Öffnung, über die ausgeatmetes CO₂ entweicht. Sie wirkt wie eine Blende mit Q _v = k _v ·√P _m ; mit k _v = 0,158 L/(s·√cmH₂O) fließen bei 10 cmH₂O ständig rund 30 L/min ab. Im Schaltbild ist das ein nichtlinearer Leitwert vom Maskenknoten nach Masse.

Knotengleichung. Am Maskenknoten teilt sich der Förderstrom in Leckage und Patientenfluss:

Regelung. Ein PI-Regler führt die Solldrehzahl nach, bis der Maskendruck seinem Sollwert P _soll (t) folgt:

Mit K _p = 0,8 krpm/cmH₂O und K _i = 25 krpm/(cmH₂O·s). Damit ist die Kette geschlossen: Der Sollwertsprung erzeugt einen Drehzahlsprung, der Drehzahlsprung einen Drucksprung am Maskenknoten, und dieser lädt den Lungenkondensator über die Widerstände der oberen und unteren Atemwege.

7 Simulation: Atmen durch Drehzahlmodulation

Das Modell aus Abschnitt 6 wurde mit dem expliziten Euler-Verfahren (Schrittweite 1 ms) gelöst; die algebraische Knotengleichung wird in jedem Schritt mit einem Nullstellenverfahren (Brent) erfüllt. Parameter: C = 0,05 L/cmH₂O, R _n = R _aw = 2 cmH₂O·s/L, τ = 0,2 s.

Fall A: Bilevel 14/8 cmH₂O, passiver Patient. Der Solldruck springt alle 4 s für 1,2 s von 8 auf 14 cmH₂O. Das Gebläse setzt das in einen Drehzahlhub um, und der Lungenkondensator lädt und entlädt sich:

Die Verifikation gegen die geschlossene Lösung aus Abschnitt 4 gelingt: Das endexspiratorische Volumen liegt bei 400 mL = C·PEEP, das Atemzugvolumen bei 305 mL gegenüber 299 mL analytisch, eine Abweichung von 2 %. Der Unterschied steckt im Fluss: Weil die Drehzahl rund 200 ms braucht, um den Drucksprung aufzubauen, erreicht der Einatemfluss nur 54 statt 90 L/min. Das reale Gebläse wirkt also wie eine Quelle mit endlicher Anstiegszeit; dieselbe Ladung fließt, aber zeitlich gestreckt. Die kurze Drucküberhöhung auf 15,1 cmH₂O ist das Überschwingen des PI-Reglers.

Fall B: CPAP 8 cmH₂O, Spontanatmung. Jetzt bleibt der Solldruck konstant, und der Patient atmet selbst: P _mus (t) ist eine Sinushalbwelle mit 4 cmH₂O Amplitude und 1,6 s Dauer, alle 4 s.

Der Patient zieht während der Einatmung Strom aus dem Maskenknoten. Ohne Regelung würde der Maskendruck einbrechen, weil das Gebläse bei fester Drehzahl einen Innenwiderstand hat. Der PI-Regler hebt die Drehzahl deshalb um gut 2 000 min⁻¹ an und senkt sie in der Ausatmung wieder ab; der Maskendruck bleibt innerhalb von etwa ±0,3 cmH₂O um den Sollwert. Das Atemzugvolumen beträgt 195 mL, annähernd C · P _{mus ,max} = 200 mL. Für die Lunge ist CPAP also tatsächlich eine Gleichspannung; für den Motor ist es eine ständig nachgeführte Last.

Fall C: Starling-Widerstand mit P _crit = +6 cmH₂O. Derselbe Atemantrieb wie in Fall B, aber mit kollabierbarem Rachensegment und einem bewusst hoch gewählten kritischen Druck. Bei CPAP 4 cmH₂O liegt der Maskendruck unter P _crit : Das Segment ist geschlossen, der Fluss ist null, das Atemzugvolumen ebenfalls – im Modell eine obstruktive Apnoe trotz Atemanstrengung. Bei CPAP 10 cmH₂O liegt der Druck über P _crit : Das Segment leitet, und das Atemzugvolumen beträgt wieder 195 mL wie ohne Kollaps. Zwischen beiden Werten entscheidet allein die Lage der Gleichspannung relativ zur Schwellspannung des Starling-Widerstands.

8 Diskussion und Grenzen

Das RC-Modell beschreibt die passive Lungenmechanik bei Atemfrequenzen erstaunlich gut, und es macht die Wirkung von PEEP und CPAP als Gleichspannung unmittelbar anschaulich. Die Simulation zeigt darüber hinaus, dass ein reales Gebläse kein Schalter ist: Seine Dynamik formt den Fluss, während das transportierte Volumen nahezu gleich bleibt.

Die Grenzen sind ebenso klar:

• Ein Kompartiment ist eine Vereinfachung. Eine reale Lunge hat Bereiche mit unterschiedlichen Zeitkonstanten; Bates et al. zeigten, dass dazu viskoelastische Elemente gehören [4, 5]; Li et al. vergleichen Ein- und Zwei-Kompartiment-Modelle sowie fraktionale Erweiterungen an Beatmungsdaten [14]. Im Schaltbild sind das parallele RC-Zweige wie in Abb. 1 und zusätzliche Kondensatoren mit eigenen Entladewiderständen.
• Compliance und Widerstand sind nichtlinear. C sinkt bei hohen Volumina, R hängt nach Rohrer vom Fluss ab [1]. Das lineare Modell überschätzt deshalb den Volumenzuwachs durch PEEP.
• Der Starling-Widerstand ist ein Grenzfall. Neuere Arbeiten berichten negative Anstrengungsabhängigkeit im flusslimitierten Bereich, die das klassische Modell nicht abbildet [11].
• Die Gebläseparameter sind generisch. a, b und τ _m sind plausible Größen für kleine Radialgebläse, keine Daten eines bestimmten Geräts. Reale Geräte verwenden eigene Regelstrategien, Leckageerkennung und Rampen.
• P _mus ist vorgegeben. In Wirklichkeit reagiert der Atemantrieb auf Druck, Volumen und Blutgase; dieser Regelkreis fehlt im Modell.

Für die Lehre und für die Auslegung von Prüfständen ist das Modell dennoch nützlich: Ein Prüflungensimulator aus Balg (Kondensator) und Blende (Widerstand) ist nichts anderes als dieses Ersatzschaltbild in Hardware, und an ihm lassen sich Druckstabilität und Ansprechzeit eines Gebläses messen.

9 Literatur

1. Rohrer F. Der Strömungswiderstand in den menschlichen Atemwegen und der Einfluss der unregelmäßigen Verzweigung des Bronchialsystems auf den Atmungsverlauf in verschiedenen Lungenbezirken. Pflügers Archiv. 1915;162:225–299.
2. Otis AB, Fenn WO, Rahn H. Mechanics of breathing in man. J Appl Physiol. 1950;2(11):592–607.
3. Mead J, Whittenberger JL. Physical properties of human lungs measured during spontaneous respiration. J Appl Physiol. 1953;5(12):779–796.
4. Bates JHT, Rossi A, Milic-Emili J. Analysis of the behavior of the respiratory system with constant inspiratory flow. J Appl Physiol. 1985;58(6):1840–1848.
5. Bates JHT. Lung Mechanics: An Inverse Modeling Approach. Cambridge University Press; 2009.
6. Lucangelo U, Bernabè F, Blanch L. Respiratory mechanics derived from signals in the ventilator circuit. Respir Care. 2005;50(1):55–67.
7. Hess DR. Respiratory mechanics in mechanically ventilated patients. Respir Care. 2014;59(11):1773–1794.
8. Chatburn RL, El-Khatib M, Mireles-Cabodevila E. A taxonomy for mechanical ventilation: 10 fundamental maxims. Respir Care. 2014;59(11):1747–1763.
9. Permutt S, Bromberger-Barnea B, Bane HN. Alveolar pressure, pulmonary venous pressure, and the vascular waterfall. Med Thorac. 1962;19:239–260.
10. Gold AR, Schwartz AR. The pharyngeal critical pressure. The whys and hows of using nasal continuous positive airway pressure diagnostically. Chest. 1996;110(4):1077–1088.
11. Kazemeini E, Van de Perck E, Dieltjens M, et al. Critical to know Pcrit: a review on pharyngeal critical closing pressure in obstructive sleep apnea. Front Neurol. 2022;13:775709.
12. Sullivan CE, Issa FG, Berthon-Jones M, Eves L. Reversal of obstructive sleep apnoea by continuous positive airway pressure applied through the nares. Lancet. 1981;1(8225):862–865.
13. Dixon SL, Hall CA. Fluid Mechanics and Thermodynamics of Turbomachinery. 7. Aufl. Butterworth-Heinemann; 2014.
14. Li Z, Pei Y, Wang Y, Tian Q. An enhanced respiratory mechanics model based on double-exponential and fractional calculus. Front Physiol. 2023;14:1273645.

Die Simulation wurde mit Python (NumPy, SciPy) erstellt.